Při skládání kolmých x/y harmonických kmitů vznikají hezké tzv. Lissajousovy obrazce. Dříve se skládaly mechanicky nejčastěji pomocí kyvadla, které rylo hrotem v písku anebo sypalo písek (sand pendulum). Existuje i dvojité Blackburnovo kyvadlo, které umožňuje vznik složitějších obrazců, protože lze v osách nastavit různý poměr kmitů. Autor videa si postavil ve stodole obrovské kyvadlo a kreslí světlem na fotopapír. Paprskem světla z uhlíkové lampy rozkmitaným zrcátky, které připevnil na ladičky maloval i Lissajouse a dodnes tento opakovaný experiment vypadá impozantně.

Realizace Lissaousových  křivek v laboratoři je velmi jednoduchá. Stačí k tomu dva sinusové generátory a místo kyvadla vykresluje obrázek na stínítku obrazovky elektronový paprsek osciloskopu. A oproti mechanickým experimentům, lze skládat i neharmonické signály (pilu, trojúhelník, obdélník) a protože se v principu jedná o elektronickou verzi kreslicí hračky „magická tabulka“, lze na obrazovku vykreslit libovolný obrázek. Já si tak kdysi nakreslil na osciloskopu kočku a pan Fenderson si čmárá i houbičky . Má na netu i video, na kterém ukazuje, že formát mp3 kvůli redukci dat kompresí na kreslení vhodný není.

Obr. 1: Rose curve na obrazovce digitálního osciloskopu (nekonečný dosvit)

Křivky lze kreslit samozřejmě i na LCD panelu digitálního osciloskopu, ale nějak to není ono. Díky nepatrné nepřesnosti kmitočtů se obrazec pomalu pootáčí a při zapnutém nekonečném dosvitu vytvoří předchozí kresba rozmazané kruhové pozadí. Rose curves jsou složitější než Lissajousovy obrazce. Vzniknou složením pohybu po kružnici a harmonického kmitání k ose otáčení. Asi by to šlo realizovat jako řetízkový kolotoč, kde by sedačka byla přitahována pístem (popř. opět kyvadlo) během otáčky několikrát k ose otáčení. Protože pohyb po kružnici je dán funkcí kosinus a sinus (fázový posuv 90 stupňů) a harmonický kmit do středu je opět sinusovka měnící poloměr (amplitudu kružnice) vznikají tyhle malůvky složením tří sinusovek a není problém je vykreslit třeba v programu Graph.

Obr. 2: Vykreslení křivky s poměrem kmitočtů 2ku1  pomocí programu Grah

Matematický popis křivek s podrobným vysvětlením lze najít třeba na wikipedii a program Graph umožňuje kromě normálního i parametrický a polární zápis funkce a je proto pro simulaci křivek mimořádně vhodný. Navíc jsou k dohledání tabulky obrázků pro různé poměry period otáčení vůči kyvu do středu. Nicméně to lze vzít jen jako inspiraci, protože u některých poměrů neodpovídaly obrázky křivek experimentům. Doba pokročila a generátory jsou dnes digitální s možností přesného a rychlého nastavení kmitočtů, takže není zapotřebí generátory zdlouhavě ladit do přesného poměru kmitočtů.

Obr. 3: Ovlivnění tvaru křivky změnou hloubky modulace (rozkmitu dostředného kyvadla)

Ve staré knížce o osciloskopech jsem kdysi viděl realizaci zobrazení křivek elektronickým řízením vychylovacích napětí a tuto schopnost osciloskopy už dávno nemají. Za to jsou dnes generátory s možností amplitudové modulace a efekt bude stejný. Z obrázku je vidět, že paprsek neprochází středem kresby, jak je u křivek optickým klamem vedeno oko, takže opravdu je to rotující houpačka houpající se směrem ke středu otáčení. Použitý generátor umožňoval generovat spřaženou sinusovku a kosinusovku potřebnou k realizaci pohybu rotujícího bodu-vykreslení kružnice. Generátor sice má možnost amplitudové modulace interním signálem, ale fázově to nevycházelo a obrázky neměly správný tvar. Proto byla použita AM externím generátorem. Toto řešení přineslo i možnost rychlé změny hloubky modulace změnou velikosti napětí externího generátoru. Je zde i možnost dalších případných experimentů, protože lze modulovat každý kanál generátoru nezávisle.

Obr. 4: Sestava pro zobrazení křivky, x/y napětí a modulačního napětí

Nahoře je modulovaný sinus a kosinus pro rotaci, které generuje spodní generátor vpravo. Jako zdroj modulačního napětí (fialově) byla použita levná čínská hračka z ebay.com napájená přes USB z powerbanky přichycené gumičkou ke krabičce generátoru. I tato hračka má možnost měnit tvar signálu a jak je vidět, modulace trojúhelníkem dělá hezčí kytičky.

Obr. 5: Kvítko vzniklé při amplitudové modulaci trojúhelnikovým signálem

Jsem rád, že i dnes se stále dají levně koupit klasické analogové osciloskopy vyráběné v PRC. Dojem ale kazí detaily jako je oslepující supersvítivá dioda indikující zapnutí přístroje. Na druhou stranu časová základna umožňuje současnou synchronizaci obou kanálů ze dvou zdrojů, které se kmitočtově mírně liší, takže se vůči sobě neposouvají. Sice nevím, k čemu je to dobré, ale ještě jsem to nikde neviděl.

Obr. 6: Obdélníková modulace trojúhelníkových signalů posunutých o 90 stupňů

Nahradí-li se sinus a kosinus posunutými trojúhelníky, zobrazí se na obrazovce místo kružnice kosočtverec a při obdélníkové modulaci vznikne třeba válečný kříž. Je možné zkusit i obdélníkový signál x/y, který by normálně zobrazil čtyři body v rozích. Při modulaci se z nich stanou dostředné úsečky.

Obr. 7: Spirála vykreslená při použití modulačního reverzního pilového signálu

Na videu demonstruje Bruce Yeany vznik této spirály mechanicky namotáváním dvojice závaží (zkracování poloměru) okolo vodorovné hrazdy a dokonce má na konci videa i rozsvícenou ledku, takže při delší expozici se obrázek i světelně vykreslí.

Obr. 8: Sluníčko vzniklé pilovou modulací, při které se nevykreslí druhý bok kytičky

Pila nebo reverzní pila je mimořádně vděčný modulační signál na kreslení spirál a sluníček. Pokud se zvolí malá hloubka modulace a velký poměr kmitočtů je možné vykreslit pilový list, nebo ozubené kolo. Při té malé hloubce modulace je dobře patrný průběh sinus a kosinus roztáčející bod pro kružnici. Základní kmitočet pohybu po kružnici byl zvolen 100 Hz.

Obr. 9: Pohyb po kružnici s malou hloubkou modulace pilovým průběhem (sawtooth)

Dnešní digitální generátory s kmitočtovou syntézou jsou natolik stabilní, že lze s nimi zkusit demonstrovat i princip vzniku rastrového televizního obrazu i bez synchronizačních impulsů řádkového a snímkového rozkladu. Na internetu lze najít i řadu návodů, jak z osciloskopu udělat monochromatickou zelenobílou televizi. Myšlenka je jednoduchá, paprsek vychylovaný pilovými průběhy pokreslí celou plochu obrazovky a podle zobrazovaného obrázku se moduluje jas paprsku

Obr. 10: Pila pro řádkový a snímkový posuv paprsku s obdélníkovou modulací jasu-pruhy

Praktický význam tyto malůvky samozřejmě nemají, ale mohou posloužit pro pochopení funkce klasického osciloskopu, plotru, televize a jsou samozřejmě pěkné a zajímavé. A lidé jsou hraví a některé mechanické konstrukce uveřejněné na netu jsou opravdu velkorysé, jako je třeba tenhle spirograph . Soustav kývajících se stolů s kyvadly je na netu opravdu dost a dost. A možná by bylo vhodné na závěr připomenout i průkopníka tohoto umění Bena Laposky a jeho knížku Oscillons.

 Videa experimentů:

1. Další videa křivek na: Křivky 1, křivky 2, křivky 3, křivky 4, křivky 5, křivky 6, křivky 7, křivky 8
    
2. Televize: